空間の三つの次元の意味を考える - p-fermat @ ウィキ

三つの次元を、長さ、回転、回転軸方向と考えることができます。

空間上の任意の点と原点と結ぶ直線の長さが定義できます。これが第一の次元です。
直線を回転させれば角度が定義できます。これが第二の次元です。
回転に対しては回転軸が存在します。これが第三の次元です。