複素数で三次元空間を表現する方法

expi2πz=1^z(zは整数)で、回転数zを第三の回転軸方向の量と考えることができます。

複素数の極形式は長さr角度θで、二次元空間である平面を表現できます。
通常無視する角度θ=2π整数倍zを回転軸方向の量と対応させれば、
複素数で円筒座標と類似な三次元座標(r,θ,z)を表現できます。

a=z+d (zはaの整数部d=θ/2πはaの小数部)とおけば、
aとrの二つの数だけで三つの次元の記述が可能です。

r(expi2πa)=r(expiθ)(expi2πz)

複素数三次元座標(r,θ,z)と三次元円筒座標は異なる点があります。
zは整数限定であり、1未満の微小変位dzはzに直角な同心円方向の量θとなります。
またθ/2πは小数だから、θが変化で2πになれば、直角な回転軸方向zが一つ変化することになります。

これは横書き文章の行を整数部z、列を小数部dと考えると分かり易くなります。
数学的な三次元空間は、直線に直角な二つの方向の一つが整数、他の一つがその小数で表現できる空間であるといえます。




最終更新:2008年04月03日 14:32