複素数で三次元空間を表現する方法


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expi2πz=1^z(zは整数)で、回転数zを第三の回転軸方向の量と考えることができます。

複素数の極形式は 長さr角度θ で、二次元空間である平面を表現できます。
通常無視する 角度θ=2π整数倍z を回転軸方向の量と対応させれば、
複素数で 円筒座標 と類似な三次元座標 (r,θ,z) を表現できます。

a=z+d  ( zはaの整数部d=θ/2πはaの小数部 )とおけば、
aとrの二つの数だけで三つの次元の記述が可能です。

r (expi2π a )= r (expi θ )(expi2π z )

複素数三次元座標(r,θ,z) と三次元円筒座標は異なる点があります。
zは整数限定であり、1未満の 微小変位dz はzに直角な 同心円方向の量θ となります。
またθ/2πは小数だから、θが変化で2πになれば、直角な回転軸方向zが一つ変化することになります。

これは横書き文章の行を整数部z、列を小数部dと考えると分かり易くなります。
数学的な三次元空間は、直線に直角な二つの方向の一つが整数、他の一つがその小数で表現できる空間であるといえます。