研究ノート


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 T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_x \\ 0 & 1 & 0 & T_y \\ 0& 0 & 1 & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

 R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta_x & -sin\theta_x & 0 \\ 0 & sin\theta_x & cos\theta_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

 R_y = \begin{bmatrix} cos\theta_y & 0 & sin\theta_y & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\theta_y & 0 & cos\theta_y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

 R_z = \begin{bmatrix} cos\theta_z & -sin\theta_z & 0 & 0 \\ sin\theta_z & cos\theta_z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

 R_zT = \begin{bmatrix} cos\theta_z & -sin\theta_z & 0 & 0 \\ sin\theta_z & cos\theta_z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_x \\ 0 & 1 & 0 & T_y \\ 0& 0 & 1 & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} = \begin{bmatrix} cos\theta_z & -sin\theta_z & 0 & T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z \\ sin\theta_z & cos\theta_z & 0 & T_xsin\theta_z + T_ycos\theta_z \\ 0 & 0 & 1 & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

 R_xR_zT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta_x & -sin\theta_x & 0 \\ 0 & sin\theta_x & cos\theta_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \begin{bmatrix} cos\theta_z & -sin\theta_z & 0 & T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z \\ sin\theta_z & cos\theta_z & 0 & T_xsin\theta_z + T_ycos\theta_z \\ 0 & 0 & 1 & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}
 = \begin{bmatrix} cos\theta_z & -sin\theta_z & 0 & T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z \\ cos\theta_x sin\theta_z & cos\theta_xcos\theta_z & -sin\theta_x & cos\theta_x(T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z) - T_zsin\theta_x \\ sin\theta_xsin\theta_z & sin\theta_x cos\theta_z & cos\theta_x & sin\theta_x(T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z) + T_zcos\theta_x \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

 \text{Let } A = T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z

 R_yR_xR_zT = \begin{bmatrix} cos\theta_y & 0 & sin\theta_y & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\theta_y & 0 & cos\theta_y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \begin{bmatrix} cos\theta_z & -sin\theta_z & 0 & A \\ cos\theta_x sin\theta_z & cos\theta_xcos\theta_z & -sin\theta_x & cos\theta_xA - T_zsin\theta_x \\ sin\theta_xsin\theta_z & sin\theta_x cos\theta_z & cos\theta_x & sin\theta_xA + T_zcos\theta_x \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}
 = \begin{bmatrix} \cdots & cos\theta_yA + sin\theta_y(sin\theta_xA + T_zcos\theta_x) \\ \cdots & cos\theta_xA - T_zsin\theta_x \\ \cdots & -sin\theta_yA + cos\theta_y(sin\theta_xA + T_zcos\theta_x) \\ \cdots & 1 \end{matrix}

 \text{Let } F_x = cos\theta_y(T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z) + sin\theta_y(sin\theta_x(T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z) + T_zcos\theta_x)
 = T_xcos\theta_ycos\theta_z - T_ycos\theta_ysin\theta_z + T_xsin\theta_xsin\theta_ycos\theta_z - T_ysin\theta_xsin\theta_ysin\theta_z + T_zcos\theta_xsin\theta_y

 \text{Let } F_y = cos\theta_x(T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z) - T_zsin\theta_x
 = T_xcos\theta_xcos\theta_z - T_ycos\theta_xsin\theta_z - T_zsin\theta_x

 \text{Let } F_z = -sin\theta_y(T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z) + cos\theta_y(sin\theta_x(T_xcos\theta_z - T_ysin\theta_z) + T_zcos\theta_x)
 = -T_xsin\theta_ycos\theta_z + T_ysin\theta_ysin\theta_z + T_xsin\theta_xcos\theta_ycos\theta_z - T_ysin\theta_xcos\theta_ysin\theta_z + T_zcos\theta_xcos\theta_y
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